Каковы способы выяснения, на каком месте в выдаче расположен искомый сайт, если на разных компьютерах обнаруживается разная выдача? 

Различные выдачи на разных компьютерах, возможно, имеют связь с тем, что в них по умолчанию указываются разные регионы (это относится к геозависимым запросам). Вам надлежит делать проверку региона, в котором происходит поиск.  
В том случае, если запрос не зависит от географического положения (либо если соответствие регионов получило подтверждение), существует такое понятие, как «персонализация выдачи».
 
 
У каждого компьютера своя «персонализированная выдача». Эта выдача определяется по интересам пользователя который пользуется данным компьютером.

Тут выход простой: нужно просто отключить «персонализацию выдачи».

Делается это так:

1. на странице выдачи идёте в правый верхений угол и нажимаете Настройки:
 
 
Настройки яндекса
 
 
2. Убираете галочки как приведено на рисунке:
 
 
Настройки яндекса
 
 

После этого вы можете на своем компьютере проверять позиции сайта и в качестве основной выдачи опираться на выдачу именно на вашем компьютере.